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Reihenentwicklung |
Das Σ-Zeichen steht für Summe und bedeutet, dass die Formel, die dahinter steht, immer wieder berechnet und aufsummiert wird. Dabei wird bei der ersten Berechnung in der Formel der Parameter i durch den Wert unter dem Summenzeichen ersetzt und bei jeder weiteren Berechnung um 1 erhöht ("inkrementiert"). Die letzte Berechnung und Aufsummierung erfolgt mit dem Wert über dem Summenzeichen.
Beispiel:
| 5 | |||||
| Σ | 2 * i | = | 2 + 4 + 6 + 8 + 10 | = | 30 |
| 1 | |||||
Geben Sie Anfangswert, Endwert und die Formel ein! Wenn Sie dann auf das Gleichheitszeichen klicken, wird die Summe berechnet und hinter dem Gleichheitszeichen ausgegeben.
Wenn Sie außerdem das Kästchen "Reihenentwicklung anzeigen" anhaken, wird zusätzlich die Summe mit allen Summanden in einem neuen Fenster dargestellt.
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Konstanten: E (Eulersche Konstante) LN2 (natürlicher Logarithmus von 2) LN10 (natürlicher Logarithmus von 10) LOG2E (= 1 / ln(2)) LOG10E (= 1 / ln(10)) PI (Kreiszahl PI) SQRT1_2 (Quadratwurzel aus 0,5) SQRT2 (Quadratwurzel aus 2) Operatoren: + (Summe) - (Differenz) * (Multiplikation) / (Division) % (Rest der Division, Modulo) |
Funktionen: abs(x) (Betrag von x) acos(x) (Arcuscosinus von x) asin(x) (Arcussinus von x) atan(x) (Arcustangens von x) ceil(x) (nächsthöhere ganze Zahl) cos(x) (Cosinus von x) exp(x) (Exponentialwert e hoch x) floor(x) (nächstniedrigere ganze Zahl) log(x) (Natürlicher Logarithmus von x) max(x,a) (Maximum von a und x) min(x,a) (Minimum von a und x) pow(x,a) (Potenz: x hoch a) random() (Zufallszahl zwischen 0 und 1) round(x) (kaufmännische Rundung von x) sin(x) (Sinus von x) sqrt(x) (Quadratwurzel von x) tan(x) (Tangens von x) |
Die Idee zu diesem einfachen mathematischen Hilfsmittel entstand am Frühstückstisch:
"Möchte noch jemand von der letzten Nektarine?"
"Oh ja! Ich hätte gerne noch etwas davon!"
"Okay! Ich gebe dir eine Hälfte ab."
"So viel möchte ich gar nicht; hier hast du ein Viertel wieder zurück!"
"Nun nimm doch! Schau: Ich gebe dir von dem Viertel die Hälfte wieder!"
...
So entstand die Frage, wie viel jeder am Ende hätte, wenn das unendlich so weiter ginge.
Die Lösung:
Der eine hat 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... + 1/2^(2n-1),
der andere hat 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... + 1/2^(2n).
Aber wie viel ist das?
Vor dem Schreiben des Reihenentwicklungsprogramms haben wir das gelöst, indem wir uns überlegt haben, wie viel jeder nach der Annahme eines weiteren Stücks tatsächlich hat, ohne den noch aufzuteilenden Rest zu berücksichtigen:
Der eine hat zuerst 1/2 + 1/8 = 5/8
dann 5/8 + 1/32 = 21/32
dann 21/32 + 1/128 = 85/128
usw.
der andere hat zuerst 1/4 + 1/16 = 5/16
dann 5/16 + 1/64 = 21/64
dann 21/64 + 1/256 = 85/256
usw.
Es fällt auf, dass die Zähler der Brüche beim einen und beim anderen immer gleich sind, die Nenner sich aber genau um den Faktor zwei unterscheiden. Der eine hat also genau doppelt so viel wie der andere. Da es insgesamt ein Ganzes gibt, hat der eine also 2/3 und der andere 1/3 der Nektarine!
Probieren Sie es aus, indem Sie oben als Formel einmal 1/pow(2,2*i) und einmal 1/pow(2,(2*i-1)) als Formel eintragen. Der Anfangswert für i muss jeweils 1 sein, als Endwert genügt 20.
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