Intervallschachtelung - Dokumentation

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Dieses Programm berechnet numerisch die Lösung einer transzendenten Gleichung mit Hilfe des Bisektionsverfahrens (Intervallschachtelung).
Ein Beispiel für eine solche analytisch nicht lösbare Gleichung ist:

ln(x) = 1/x

Bevor das Programm benutzt werden kann, müssen in den Zeilen 70 und 80 die beiden Seiten der Gleichung eingegeben werden; im Beispiel:

70: Y1 = LN X
80: Y2 = 1/X

Danach kann das Programm mit [DEF] [ L ] gestartet werden.
Dann muss zuerst ein Intervall angegeben werden, innerhalb dessen die Lösung vermutet wird; anschließend eine Endgenauigkeit, bei der die Schachtelung abgebrochen wird.

Der benutzte Algotithmus ist einfach:
Es werden die Funktionswerte der beiden Funktionen an drei Stellen berechnet, nämlich an den Intervallgrenzen und in der Intervallmitte.
Die Differenzen der Funktionswerte sind an einer Intervallgrenze und in der Intervallmitte im Vorzeichen unterschiedlich. Zwischen diesen beiden Stellen liegt der gesuchte Schnittpunkt der Funktionen; deshalb werden sie als neue Intervallgrenzen für den nächsten Durchlauf gewählt.

Damit das Programm einwandfrei funktioniert, muss sichergestellt sein, dass in dem gewählten Testintervall höchstens ein Schnittpunkt der beiden Funktionen liegt. (Sonst könnte es sein, dass die Differenz der Funktionswerte sich an beiden Intervallgrenzen von der in der Intervallmitte unterscheidet.)
Ist diese Bedingung erfüllt, wird auch erkannt, wenn kein Schnittpunkt im Testintervall liegt.
Selbstverständlich lassen sich nach der selben Methode auch Gleichungen lösen, die auch analytisch lösbar wären.

Variable	Bedeutung
A, B	Intervallgrenzen des aktuellen Testintervalls; A<B
C	Intervallmitte
D	Endgenauigkeit; D>10-10
I	Variablenzähler
X	Argument
Y1, Y2	Funktionswerte der linken und rechten Gleichungsseite
S,T,U	Vorzeichen der Differenz der beiden Funktionen an den Intervallgrenzen und in der Intervallmitte Diese Variablen werden im hier gezeigten Listing (Zeile 100) mit A(I) angesprochen (I=19,20,21).

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