Der Erste und der Zweiten sehen beide keinen Ihrer Leidensgenossen, können also nicht zur Lösung ihres Problems beitragen.

Der Vierte sieht vor sich eine weiße und eine schwarze Mütze von Nummer Zwei und Nummer Drei. Nummer Eins ist hinter der Mauer nicht zu sehen.
Er weiß, dass zwei weiße und zwei schwarze Mützen im Spiel sind, kann also keine Schlussfolgerung ziehen, welche Farbe seine eigene hat!
Sähe er vor sich zwei gleichfarbige Mützen, so könnte er sicher sein, dass seine Mütze die andere Farbe hat.

Nummer Drei kann sich überlegen, dass Nummer Vier mit Sicherheit sagen würde, welche Farbe seine Mütze hat, wenn er vor sich zwei gleichfarbige Mützen sähe (s.o.).
Da Nummer Vier schweigt, kann Nummer Drei sicher sein, dass seine Mütze eine andere Farbe hat als die von Nummer Zwei.
Nummer Zwei hat wie er sehen kann, eine weiße Mütze auf, also schreit Nummer Drei erleichtert heraus:

"Ich habe eine schwarze Mütze auf!"