Die Quersumme der gesuchten Zahl muss 10 sein, weil ja insgesamt zehn Stellen besetzt werden müssen.

Denken Sie außerdem über die rechten Stellen der Zahl nach:
Die Einerstelle soll angeben, wie viele Neunen in der Zahl vorkommen.
Eine zwei kann hier schon nicht stehen, weil die Zahl 18 Stellen haben müsste, damit zwei Ziffern jeweils neun Mal vorkommen könnten. Selbste eine Eins an der letzten Stelle würde bedeuten, dass nur noch eine Stelle mit einer anderen Zahl belegt sein kann.
Tendenziell haben die rechten Stellen also kleine Werte.

Genaue Überlegungen zu den Abhängigkeiten zwischen Ziffern und Stellen inklusive der Herleitung der Lösung 6210001000 sowie weiterführende Informationen über Autobiographische Zahlen in anderen Zahlensystemen finden sich hier:
Wikipedia
Werner Brefeld
Bei TED (englisch) bin ich zuerst auf die Autobiographischen Zahlen aufmerksam geworden.