Aller guten Dinge sind drei, sagt man. Also gibt es außer der Ersten und Zweiten auch noch eine Dritte Binomische Formel.
Diese ist so eine Art Mischung aus den beiden ersten, denn sie beantwortet die Frage, wie groß das Produkt aus Summe und Differenz zweier Zahlen a und b ist:

(a+b)(a-b)

Auch hier wollen wir wieder beide Wege gehen, die Berechnung und die anschauliche Darstellung, was die Rechnung bedeutet:

Erstens: Ausrechnen

Wieder jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen multiplizieren und dabei das negative Vorzeichen des einen b beachten:

(a-b)(a+b) =
a*a + a*b + (-b)*a + (-b)*b =
a² + ab - ab + b² =
a² - b²

Zweitens: Veranschaulichen

Nun wollen wir uns wieder die Bedeutung dieser Rechnung veranschaulichen:
Links oben gibt es wieder die zwei Schieberegler, mit denen du die Zahlen a und b einstellen kannst. Weiter unten siehst du zwei Strecken, der Länge a und b.
Als Hilfe sind noch zwei blaue Linien eingezeichnet, die der Summe (a+b) bzw. der Differenz (a-b) der beiden Zahlen entsprechen.
Mit den Kontrollkästchen kannst du dir wieder die Bedeutung der Quadrate a² und b² bzw. der Rechtecke ab ansehen.
Wenn du die Kontrollkästchen der Reihe nach anklickst, kannst du sehen, dass zuerst vom Quadrat a² das obere Rechteck ab abgezogen wird.
Dann wird das zweite Rechteck ab wieder hinzugezählt, um auf die richtige Breite zu kommen.
Allerdings ist dieses Rechteck nach oben hin zu groß, so dass das überstehende Quadrat der Größe b² wieder abgezogen werden muss. 

Links neben der Zeichnung wird das Ganze noch mal mit Zahlen gerechnet, damit du kontrollieren kannst, dass das wirklich stimmt.

Leider kann man die Formel hier nicht unmittelbar wiedererkennen; man kann nicht sofort sehen, dass die Flaäche b² von a² abgezogen werden muss, damit die Fläche genau dem Rechteck (a+b)(a-b) entspricht. Aber mit dem Umweg über die Rechtecke ab leuchtet es ein.

Michael Janßen, 02. November 2009, Erstellt mit GeoGebra