Gegeben ist folgende Anordnung eines Kolbenantriebs:
Die Kurbel c rotiert um den Punkt B. Sie hat eine Länge von 1.
Die Pleuelstange b ist im Punkt A drehbar mit der Kurbel verbunden und hat eine Länge von 3.
Am Ende der Pleuelstange ist im Punkt C ein Kolben gelenkig befestigt, der sich durch die Drehung der Kurbel hin und her bewegt. Kolben und Zylinder sind hier blau eingezeichnet. (Nur zur Veranschaulichung.)
Gesucht ist die Länge der Strecke a in Abhängigkeit des Kurbelwinkels α.
Dieser kann mit Hilfe des Schieberegels zwischen 0° und 360° eingestellt werden oder durch Klick auf die Abspielen-Schaltfläche unten links animiert werden.
Als Hilfslinien sind eingezeichnet:
h: die Höhe des Dreiecks ABC auf der Seite a (blau)
Der Kreis mit dem Radius 1 um den Punkt B in orange. (Das ist die Bahnkurve des Punktes A bei Kurbeldrehung).
Der Kreis mit dem Radius 3 um den Punkt A in violett. (Sein Schnittpunkt mit der Horizontalen bestimmt die Lage des Punktes C.)
Oben links sind die Längen der drei Seiten a, b, c angegeben.
Dort wird die Länge a analytisch nach der angegebenen Formel berechnet. In der Zeichnung wird sie geometrisch bestimmt. Die Übereinstimmung der beiden Ergebnisse bestätigt die Richtigkeit unten stehender Rechnung.

Michael Janßen, 26. Januar 2010, Erstellt mit GeoGebra

Die Länge a setzt sich aus zwei Abschnitten zusammen:
Zum einen der Teil links des Aufpunktes von h, zum anderen der Teil rechts davon.
Der linke Teil lässt sich sehr einfach in Abhängigkeit des Winkels α berechnen: Es ist sein Cosinuswert (weil c=1 ist).
Für den zweiten Teil können wir zunächst die Kathete h des rechten rechtwinkligen Dreiecks bestimmen:
h = sin(α)
Sodann können wir den gesuchten Abschnitt von a - die zweite Kathete des rechten Dreiecks - mit Hilfe des Satzes von Pythagoras errechnen, da die Hypothenusenlänge gegeben ist.
So ergibt sich die Formel zu


Der zweite Teil unserer Aufgabe lautet, den bzw. die Winkel zu bestimmen, bei denen a eine vorgegebene Länge erreicht. Dazu müssen wir die Formel für a nach α auflösen:

Dazu separieren wir die Wurzel auf einer Seite , um sie durch Quadrieren entfernen zu können:

Quadrieren:

Pythagoras am Einheitskreis angewendet besagt, dass die Summe der Quadrate der Sin- und Cos-Funktion eins ergibt. Mit Hilfe dieses Zusammenhangs sin durch cos ersetzen:

Auflösen:

Aber: Das ist nur eine von zwei gültigen Lösungen! Die Kurbel darf sich nämlich um den berechneten Winkel in beide Richtungen drehen.

Will man die Formel noch bezüglich b verallgemeinern, muss man die 8 durch (b²-1) ersetzen. (Die Klammern sind wegen des Minuszeichens vor der 8 zwingend!)

Beispiel:
Die Vorgabe a=2,5 führt mit obiger Formel darauf, dass man den Kurbelwinkel auf 110,5° (bzw. 249,5°) einstellen muss. Probieren Sie es aus!