GeoGebra im Regenbogen
 

 Fensterfeststeller Nr. 2

Auf der vorangegangenen Seite haben wir einen Fensterfeststeller in Teleskopform untersucht.
Auf dieser Seite geht es um eine Variante, die ich später nachgekauft habe.
Diese Version besteht aus zwei Stangen fester Länge.
Eine der beiden Stangen ist als Schiene ausgeführt, auf der das Ende der anderen Stange in einem feststellbaren Klemmschuh entlanggleitet.
Anhand des Fotos und der Grafik unten kann man sich vorstellen, wie das funktioniert.

Fensterfeststeller mit Schiene

Unser Geogebra-Modell hat wieder diverse Schieberegler:
Der grüne Regler für den Öffnungswinkel α kann zwischen 0° und 120° manuell eingestellt werden oder bewegt sich automatisch zischen diesen Werten hin und her, wenn Sie auf das kleine Dreieck unten links im Bild klicken.
lx ist die Länge der Stange, deren eines Ende auf der Schiene gleitet. Ihre Endpunkte sind mit X1 und X2a bezeichnet. Je nach Konstellation gibt es auch einen Punkt X2b aber dazu später mehr.
ly ist die länge der Schiene zwischen den Befestigungspunkten Y1 und Y2.
In diesem Beispiel ist die Schiene am Fenster und die andere Stange am Rahmen befestigt. Man könnte es sicher auch umgekehrt machen, was sogar den Vorteil hätte, dass sich die Klemmschraube immer am Fensterrahmen befindet und sich nicht mit dem Fenster nach außen bewegt. Leider ist bei der Bauart, wie ich sie gekauft habe, die Ausführung der Befestigungspunkte so (horizontale Schraubenrichtung), dass die Schiene am Fenster sitzen muss.)
Der Feststeller und seine Befestigungspunkte sind rot eingezeichnet.

Braun dargestellt ist wieder das Fenster (Querschnitt), dessen Dicke d und Breite b mit den beiden braunen Schiebereglern eingestellt werden kann.

Für die Montage beweglich sind die Punkte X1 und Y1, die sich mit der Maus oder nach Markieren auch mit den Pfeiltasten auf dem Rahmen bzw. dem Fenster hin und her schieben lassen.

Folgende Hilfslinien sind blau eingezeichnet: Die Kreisbahnen, auf denen sich die Punkte Y1, Y2 und X2a bewegen, sowie die Senkrechte durch den Punkt X1.
Die Schnittpunkte der Kreise sind mit S1 und S2 bezeichnet. Ihre Lage ist entscheidend für das Funktionieren des Feststellers und das Finden der optimalen Montageposition, aber dazu später mehr.
Unten im Bild sind die Montagewerte für X1 und Y1 nach der selben Definition wie auf der vorangegangenen Seite angegeben.
Oben rechts gibt es wieder die kleine Schaltfläche, um das Ausgangsbild wiederherzustellen.

Dieser Typ Feststeller ist deutlich einfacher zu installieren als die Teleskopstange auf der vorherigen Seite, sowohl beim Berechnen des erlaubten Bereichs für die Wertepaare (X1 | Y1) als auch bei der praktischen Installation durch Probieren.
Der Grund liegt darin, dass die X-Position (hier: X1) nun links von der Y-Position (Y1) liegt und deshalb die Bewegung des Punktes X2a streng monoton ist, d.h. immer nur in eine Richtung geht, wenn α nur in eine Richtung geht. (Wir erinnern uns: Die Teleskopstange wurde beim Öffnen des Fensters ein Stück zusammengeschoben, bevor sie ausgefahren wurde.)
Trotzdem bleibt es schwierig, durch Probieren die optimale Montageposition zu finden. Dagegen geht das, wie wir noch sehen werden, mit obigem Geogebra-Modell sehr einfach.

Zuerst die Praktische Installation

Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:

a) X1 = d, Feststeller im eingefahrenen Zustand (X2a liegt bei Y2), Fenster geschlossen:
Wenn X1 an der Position d fixiert wird, erreicht man damit den größtmöglichen Öffnungswinkel, den die Teleskopstange bei der vorgegebenen Fensterdicke d erlaubt, jedoch höchstens 90° (weil dann der Feststeller mit dem Fenster kollidiert).

b) Vorgabe des maximalen Öffnungswinkels, ausgefahrener Zustand des Feststellers (X2a liegt bei Y1):
Man kann den Feststeller auch im ausgefahrenen Zustand montieren. Dazu öffnet man das Fenster bis zum gewünschten maximalen Öffnungswinkel. Die Position von X1 ergibt sich dann aus dem Schnittpunkt der Verlängerung der Fensterkante mit dem Fensterrahmen. Risiko hierbei: Wählt man einen Öffnungswinkel, für den der Feststeller wegen seiner Abmessungen lx und ly nicht geeignet ist, lässt sich das Fenster nach der Montage nicht mehr schließen.

Montage mit Hilfe des Modells

Mit oben stehendem Geogebra-Modell haben Sie die Möglichkeit, die Montagepunkte X1 und Y1 exakt so zu bestimmen, dass der mit diesem Feststeller maximal mögliche Öffnungswinkel erreicht wird und das Fenster trotzdem noch schließt.
Stellen Sie dazu die Abmessungen des Fensters und des Feststellers an den Schiebereglern ein. Sodann verschieben Sie die Montagepunkte X1 und Y1 so, dass der Schnittpunkt S1 möglichst weit links liegt (→ großer Öffnungswinkel) und gleichzeitig der Schnittpunkt S2 nicht oberhalb von X1 zu liegen kommt (→ Schließen ist gewährleistet).
Die Maße der Montagepunkte können Sie dann unten rechts im Bild ablesen.

Mathematische Berechnung der erlaubten und der optimalen Montagepunkte

Für die Berechnung der erlaubten Montagepunkte legen wir die Randbedingungen wieder so fest, dass das Fenster schließbar sein soll (α=0°) und dass der maximale Öffnungswinkel α=90° betragen soll.
(Das entspricht nicht der oben beschriebenen optimalen Montage, denn für diese gibt es genau ein Wertepaar (X1 | Y1). Hier berechnen wir die Menge der Wertepaare, die die genannten Randbedingungen erfüllt. Zu den möglichen Optimierungskriterien komme ich später noch.)

Die erste Bedingung, die wir ausnutzen können, ist

(1)   X1 ≥ d

Sie begründet sich daraus, dass der Feststeller sonst bei Öffnungswinkeln gegen 90° mit dem Fenster kollidieren würde.

Eine weitere Bedingung erhalten wir bei Betrachtung des geschlossenen Fensters. Dann muss nämlich der Abstand der Punkte X1 und Y1 mindestens gleich dem Längenunterschied der beiden Stangen des Feststellers sein, weil der Punkt S2 sonst oberhalb der Fensterkante y = −d läge und das Fenster sich deshalb nicht schließen ließe.

(2)   (a) Y1 - X1 ≥ lx - ly   (b) X1 ≤ Y1 - lx + ly   (c) Y1 ≥ X1 + lx - ly

Eine dritte Formel erhalten wir aus der einfachen Tatsache, dass bei voll geöffnetem Fenster Y1 in Reichweite der am Rahmen befestigten Stange liegen muss:

(3)   Y1 ≤ lx - d

Wenn wir bei Ungleichung (3) nun nur den Grenzfall betrachten, also einfach eine Gleichung daraus machen, können wir (3) für Y1 in (2)(b) einsetzen und erhalten:

(4)   X1 ≤ ly - d

Der Gedanke, der uns auf Formel (3) geführt hat, gilt natürlich auch bei jedem anderen Öffnungswinkel: Y1 darf nie weiter als lx von X1 entfernt sein, was uns auf folgende Kreisformel (5) führt:

(5)   Y1 ≤ √(lx2 - (X1 - d)2) - d

Betrachten wir nun die Grenzen des erlaubten Bereichs. Dazu machen wir obige Ungleichungen zu Gleichungen und sehen uns die Graphen dieser Gleichungen an. Das Ungleichheitszeichen sagt uns, auf welcher Seite des Graphen der erlaubte Bereich für unsere Montagepunkte liegt. In nachstehendem Geogebra-Applet sind die Graphen der Gleichungen wie folgt eingetragen:
Formel (1) ist die grüne Linie; der erlaubte Bereich liegt rechts davon, weil X1 größer sein soll.
Formel (2) in der rechten Darstellung ist die rote Gerade; der erlaubte Bereich leigt oberhalb der Geraden, weil Y1 größer sein soll.
Formel (4) wird durch die orangefarbene Senkrechte dargestellt; der erlaubte Bereich liegt links davon, weil X1 kleiner sein soll.
Formel (5) ist die blaue Kurve; der erlaubte Bereich liegt darunter, weil Y1 kleiner sein soll.

Sie können nun die Maße des Feststellers oder die Dicke des Fensters verändern und sehen, welchen Einfluss das auf die möglichen Montagepunkte hat. Jeder Punkt P(x|y) = P(X1 | Y1) in der rot schattiert dargestellten Fläche erlaubt das Öffnen, Schließen und Feststellen des Fensters mindestens im Bereich von 0° bis 90°.

Die Schieberegler lassen sich auch so verstellen, dass der rote Bereich über die blaue Kurve wandert (wenn ly deutlich kleiner als lx wird). In diesem Fall gibt es natürlich trotzdem keinen gültigen Montagepunkt!

Optimierungskriterien

Nun kann man sich fragen, welches der vielen möglichen Montagepunktepaare man denn nun nehmen soll.
Um diese Frage zu beantworten, muss man zuerst festlegen, nach welchem Kriterium man optimieren möchte.
Mir sind zwei eingefallen:

  • Erreichen maximaler Feststellkraft bei vorgegebenem maximalen Öffnungswinkel (Opt1)
  • Erreichen des mit dieser Fenster-/Feststellergeometrie maximal möglichen Öffnungswinkels (Opt2)

Die beiden Wertepaare, die jeweils eines der beiden Kriterien erfüllen, sind bereits in obigem Geogebrabild als Opt1 bzw. Opt2 eingetragen.

Die erste Optimierung ist gleichbedeutend damit, den Verschiebebereich des Feststellers über den Fensteröffnungswinkelbereich voll auszunutzen und den Feststeller möglichst weit weg vom Fensterscharnier zu montieren (längerer Hebelarm für den Feststeller).

Die Begründung, warum Opt1 die Montage hinsichtlich voller Ausnutzung der Feststellerlänge und hinsichtlich Feststellkraft optimiert, ist folgende: Es ist das Wertepaar mit dem größten Wert für X1, also dem größten Abstand vom Scharnier des Fensters, ohne dass es eine Möglichkeit gäbe, Y1 überproportional zu vergrößern. Verkleinert man X1, wächst Y1 weniger.
Dass mit Opt1 der volle Verschiebebereich des Feststellers ausgenutzt wird, können Sie auch leicht ausprobieren: Wählen Sie für d, lx und ly beliebige sinnvolle aber in beiden Geogebra-Bildern gleiche Werte; stellen Sie dann die im unteren Bild bei Opt1 angegebenen Größen für (X1 | Y1) im oberen Bild ein und bewegen Sie den Schieberegler für α zwischen 0° und 90°. Sie werden sehen, dass X2a dabei bis zu den beiden Extremen Y1 und Y2 fährt.

Analog können Sie verifizieren, dass Opt2 das Optimierungskriterium des maximal möglichen Öffnungswinkels erfüllt.
Zu verstehen, warum genau dieser Punkt - es ist genau die Mitte zwischen Opt1 und dem Schnittpunkt von roter und grüner Linie - das gesuchte Optimum ist, ist nicht ganz so einfach.
Man könnte es sicherlich ausrechnen, indem man die Bedingungen auswertet, dass S2(X1+lx | -d) sein muss und S1 möglichst weit links liegen soll.
Die handwerkliche Mathematik dahinter ist jedoch so umständlich, dass ich das Rechnen aufgegeben habe und statt dessen folgende einfachere Überlegung angestellt habe:

Der Punkt Opt2 muss auf jeden Fall auf der roten Gerade liegen, weil sich diese aus der Bedingung ergibt, dass S2(X1+lx | -d) ist, die wir ja brauchen, damit das Fenster noch schließt.
Schaut man sich im oberen Geogebra-Bild die Konstellation für Opt1 bei einem Öffnungswinkel von 90° an, wird klar, dass für eine Vergrößerung des möglichen Öffnungswinkels Y1 kleiner und X1 größer werden müssen. Dies ist auch die einzige Richtung, auf der man von Opt1 aus auf der roten Geraden noch wandern kann, ohne den erlaubten Bereich zu verlassen.
Diese Überlegung gilt zunächst unabhängig von der Fensterdicke d. Wenn man also die Fensterdicke erhöht (probieren Sie es aus!), wird der gesuchte Punkt Opt2 immer noch irgendwo auf der roten Geraden zwischen Opt1 und dem Schnittpunkt mit der grünen Senkrechten liegen (aber nicht auf letzterem!).
Dieses Spiel kann man so weit treiben, bis der erlaubte Bereich für diese Feststellergeometrie nur noch ein Punkt ist. Dieser muss dann der gesuchte Punkt Opt2 sein.
Da die beiden Senkrechten sich mit d gleichmäßig aufeinander zu bewegen, liegt Opt2 also genau in der Mitte zwischen Opt1 und dem Schnittpunkt der roten und der grünen Geraden.

Reale Installation

Wie auch für die Teleskopfeststeller habe ich die Montagepositionen für die Schienenfeststeller durch Probieren ermittelt.

Die geometrischen Vorgaben sind:

d = 8 cm
lx = 18,5 cm
ly = 26 cm

Die realen Montagepunkte sind:

X1 = 10,5 cm
Y1 = 6 cm

Der maximale Öffnungswinkel beträgt bei dieser Montage ca. 104°. Danach kollidiert der Feststeller mit dem Fenster.

Was ist, wenn X1 rechts von Y1 liegt?

Bei der Erläuterung der Punktebezeichnungen habe ich schon kurz angedeutet, dass es einen Punkt X2b geben kann.
Dieser tritt entweder an Stelle oder zusätzlich zu X2a auf, wenn X1 rechts von Y1 liegt und außerdem Öffnungswinkel α und lx geeignet sind.
Die Ursache liegt darin begründet, dass X2a und X2b nichts anderes sind als die Schnittpunkte der Strecke ly mit dem Kreis um X1, Radius lx. Je nach Lage des Kreises (abhängig von X1 und lx) und der Strecke ly (abhängig von Y1 und Öffnungswinkel α) gibt es keinen, einen oder zwei Schnittpunkte.

Bei oben beschriebener Installation liegt X1 sogar ein wenig rechts neben Y1. Das liegt darin begründet, dass bei diesem Feststeller lx kleiner ist als ly. lx ist aber lang genug, so dass kein zweiter Schnittpunkt X2b entsteht.

Für unsere Betrachtung relevant ist nur der Schnittpunkt X2a, weil bei den Konstellationen, bei denen X2b auftaucht, keine vernünftigen Öffnungswinkel zu realisieren sind. (Probieren Sie es aus!)

Welcher Typ Fensterfeststeller ist besser?

Wir haben nun zwei Arten Fensterfeststeller sehr eingehend untersucht, den Telskop-Typ und den Schienen-Typ:
Fensterfeststeller Teleskoptyp Fensterfeststeller Schienentyp
Teleskop-Typ Schienen-Typ

Für mich hat die Untersuchung ergeben, das der Schienentyp systembedingt folgende Vorteile hat:

  • Die Feststellschraube kann immer in der Nähe des Bedieners bleiben und muss sich nicht mit dem Fenster nach außen bewegen.
  • Da X1 immer links von Y1 liegt, wird kein Bereich durchlaufen, in dem die Feststellwirkung nachlässt (wie beim Teleskop der Bereich der geringsten Länge, in dem eine große Winkeländerung nur zu kleinen Längenänderungen des Teleskops führt).
  • Die beiden Optimierungskriterien "großer Öffnungswinkel" und "große Feststellwirkung" liegen näher beieinander. Beim Teleskop führt maximaler Öffnungswinkel (Y=0) zu minimaler Feststellwirkung.

Bei den beiden realen Feststellertypen wird der erste Vorteil leider dadurch verspielt, dass die Befestigungen so ausgeführt sind, dass die Schiene am Fensterflügel montiert werden muss statt am Rahmen. Außerdem ist die Schiene nicht steif genug, so dass Verwerfungen dazu führen, dass der Feststeller sich verklemmt.

Fensterfeststeller Kurbel, Pleuel und Kolben

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