Einleitung

Diese Seite will mit Hilfe von Geogebra anschauliche Erklärungen zur Kurvendiskussion geben. Kurvendiskussion? Was ist das?

Damit fängt es an: Das Wort für das Thema, um das es hier geht, führt häufig zur Verwirrung; was eine Kurve ist, kann man sich in der Regel noch vorstellen (Nein! NICHT die Kurven einer Straße!), aber "Diskussion"? Seit wann wird in der Mathematik diskutiert? Ein Ergebnis ist richtig oder falsch, da gibt es nichts zu diskutieren. Gemeint ist damit, dass man allerlei Eigenschaften einer Kurve rechnerisch ermittelt, z.B. um sie einfacher skizzieren zu können, oder um eine Vorstellung davon zu erhalten, was im Verlauf der Kurve so alles "passiert". Häufig repräsentiert eine mathematische Kurve ja einen Vorgang in der Realität und markante Punkte der Kurve haben Entsprechungen in dem beschriebenen Vorgang, für die man sich interessiert.

Nachdem wir den schwierigen Wortteil "…diskussion" jetzt entzaubert haben, noch etwas zum Begriff "Kurve": Damit ist hier immer die grafische Darstellung einer Funktion gemeint. Und was ist das jetzt schon wieder? Auf Nichtmathematikerdeutsch würde man sagen: Eine Funktion ist eine Zuordnung. Sie ordnet jedem Wert aus einer Definitionsmenge genau einen Wert einer Wertemenge zu. Wie das genau geht und welcher Wert zugeordnet wird, bestimmt eine Funktionsgleichung. Beispiel:

Das komische f₁(x) am Anfang bedeutet, dass nach dem Doppelpunkt eine Funktion kommt, die f₁ heißt und bei der wir die Größe x frei wählen können. Darauf wird extra hingewiesen, weil in der Funktionsgleichung ja auch noch andere Buchstaben stehen können, z.B.

Hier müssen wir das a als konstant ansehen.

Aber wir können uns irgendein x aussuchen und den zugeordneten y-Wert ausrechnen, indem wir 1 (bzw. a) von x abziehen und das Ergebnis quadrieren. Das geht auf genau eine Weise, also gibt es zu jedem x genau ein y. Umgekehrt gibt es in diesem Beispiel aber mehr als ein x zu einem bestimmten y, denn x = 3 ist y = 4 zugeordnet, x = (-1) liefert aber auch y = 4. Die Zuordnung einer Funktion liefert also nur in einer Richtung eindeutige Ergebnisse. Das macht aber erst mal nichts, darauf muss man nur bei anderen Dingen achten (z.B. Umkehrfunktionen).

Wie wird aus den x- und y-Werten nun eine Kurve? Indem man einfach alle Zuordnungen als Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet: Zur Veranschaulichung kann man durch den x-Wert eine senkrechte und durch den y-Wert eine waagerechte Linie ziehen; dort wo die beiden sich schneiden, befindet sich der Punkt P mit den Koordinaten x und y: P(x | y).

Weil es unendlich viele x-Werte gibt, liegen diese Punkte so dicht beieinander, dass daraus eine Linie wird.

Nachfolgende kleine Darstellung soll das verdeutlichen. Darin heißt der x-Wert x₀. Der mit Hilfe der Funktionsgleichung für f₂ berechnete Funktionswert heißt y₀ und beide bilden den Punkt P. Die Werte für x₀ und a lassen sich mit den Schiebereglern verändern. (In meinem Artikel über Parabeln gibt es noch mehr darüber zu lesen, welche Parameter Form und Lage den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion auf welche Weise beeinflussen.)

Beginnen wir nun mit der Diskussion!

Welche Eigenschaften einer Kurve man untersucht, ist nicht festgelegt. Ich versuche hier ein möglichst vollständiges Bild zu geben. Es kann sein, dass euer Mathelehrer manche Punkte gar nicht untersuchen lässt. Vielleicht legt er aber Wert auf noch andere Eigenschaften, die ich hier nicht aufgeführt habe. Falls das so ist, lasst es mich bitte wissen, damit ich diese Seite vervollständigen kann!