Extrempunkte

Auf den letzten drei Seiten war so viel die Rede von Ableitungen und wie man sie berechnet, dass ihre Bedeutung für das große Thema "Kurvendiskussion" vielleicht ein wenig aus dem Blick geraten ist. Auf dieser Seite will ich erklären, warum das mit den Ableitungen so wichtig ist und welche Eigenschaften einer Funktion wir mit ihrer Hilfe herausfinden können. Dazu erinnern wir uns als erstes an die Bedeutung der Ableitung oder lesen hier nochmals nach:

Die Ableitung einer Funktion ist die Steigung ihrer Tangente.
Natürlich ändert sich die Steigung der Tangente, je nachdem wo man sie anlegen möchte. Deswegen ist f'(x) - also die Ableitung - auch eine Funktion, deren Wert sich entlang der x-Achse ändert. (Außer wenn f(x) eine Gerade ist, denn deren Steigung ja konstant.)
Mit anderen Worten: x bezeichnet die Stelle, an der man die Tangente anlegen möchte. Wenn man also die Steigung der Tangente an der Stelle x = 2 sucht, setzt man 2 in die Funktionsgleichung von f'(x) für x ein.

Noch ein letzter allgemeiner Hinweis: Wenn (z.B. in einer Aufgabenstellung) von einer Stelle die Rede ist, so ist damit immer ein x-Wert gemeint.
Ist dagegen von einem Punkt die Rede, so ist damit ein (x,y)-Koordinatenpaar gemeint.
Soll man also beispielsweise eine Extremstelle finden, genügt es, deren x-Wert zu berechnen. Ist hingegen nach dem Extrempunkt gefragt, dann muss man diesen x-Wert noch in die Funktionsgleichung f(x) (!) einsetzen, um den y-Wert zu berechnen.

Im folgenden werden wir die Steigung der Tangente dafür nutzen, Stellen zu finden, an denen Funktionswerte maximal oder minimal werden oder an denen andere Besonderheiten auftreten.
Dazu schauen wir uns nachstehende Funktion

f(x) = 0,522 x⁵ - 5,87 x⁴ + 25,217 x³ - 50,87 x² + 46,957 x -13,957

an, die ich extra so entworfen habe, dass bei einfachen x-Stellen Besonderheiten auftreten.