Symmetrie

Unter Symmetrie versteht man die Eigenschaft, dass Teile gleich oder spiegelbildlich sind.

Einen Funktionsgraphen teilt man dazu bildlich gesprochen in zwei Teile, indem man entlang der y-Achse "schneidet". Nun gibt es zwei Möglichkeiten der Symmetrie:

Wenn man die rechte Hälfte auf die linke "klappen" kann (oder umgekehrt) und dann beide Teile exakt übereinander liegen, spricht man von Achsensymmetrie. In diesem Fall sind die beiden Teile der Kurve spiegelbildlich.

Falls der eine Teil genau dann auf den anderen zu liegen kommt, wenn man ihn um 180° um den Ursprung dreht, spricht man von Punktsymmetrie.

Wenn nichts von beiden zu übereinanderliegenden Teilen führt, liegt keine Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse und keine Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs vor. Natürlich könnte es Symmetrien bezüglich anderer Achsen oder Punkte geben; diese sucht man aber in der Regel nicht, weil der rechnerische Test dafür nicht so einfach ist wie dieser hier:

f(x) = f(-x) → Achsensysmmetrie

f(x) = -f(-x) → Punktsymmetrie

Das bedeutet: Überall wo in der Funktionsgleichung "x" steht, setzt man "(-x)" ein, rechnet ein wenig und probiert, ob man wieder auf die Funktionsgleichung kommt - dann hat man Achsensymmetrie - oder ob man auf die negative Funktionsgleichung kommt, dann hat man Punktsymmetrie.

Warum diese einfache Rechnung etwas über die Symmetrie aussagt, sollen folgende Beispiele veranschaulichen: Zuerst ein Beispiel für Achsensymmetrie:

Hier die Rechnung dazu:

f₁₀(-x) = (-x)⁴ - 3(-x)² + 1 = (-x)·(-x) · (-x)·(-x) - 3(-x)·(-x) + 1 = x⁴ - 3x² + 1

f₁₀(-x) = f₁₀(x)

Diese Funktion ist also achsensymmetrisch.

Nun das Beispiel für eine punktsymmetrische Funktion:

Auch hier darf die Rechnung natürlich nicht fehlen:

f₁₁(-x) = (-x)⁵ - (-x)³ + 1 = (-x)·(-x) · (-x)·(-x) · (-x)  -  (-x)·(-x) · (-x) = -x⁵ + x³ = -( x⁵ - x³)

f₁₁(-x) = -f₁₁(x)

Diese Funktion ist also punktsymmetrisch.

Allgemein kann man sagen, dass Funktionen, wenn sie Polynome sind und ausschließlich gerade Potenzen enthalten (wie das erste Beispiel f₁₀(x)), achsensymmetrisch sind. Auch ein konstantes Glied wie "+ 1" kann dabei als gerade Potenz interpretiert werden, weil Null eine gerade Zahl ist und

x⁰ = 1

Polynome mit ausschließlich ungeraden Potenzen sind punktsymmetrisch.

Noch ein paar weitere Symmetriebeispiele:

• Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch.
• Die Cosinusfunktion ist achsensymmetrisch.
• Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch.