Achsenschnittpunkte

Wenn wir schon ein Koordinatenkreuz für die Skizze unserer Funktion gezeichnet haben, könnten wir uns als nächstes überlegen, an welchen Stellen sie diese Achsen schneidet. Aber auch wenn wir mit der Funktion etwas Reales modellieren und berechnen wollen, sind die Schnittpunkte sehr oft von Interesse.

Das Prinzip ist einfach: Die Achsenschnittpunkte sind Punkte auf der Kurve, haben also Koordinaten wie jeder andere Punkt auch. Diese Koordinaten erfüllen die Funktionsgleichung. Das tolle: Jeweils eine der Koordinaten kennen wir schon: Beim Schnittpunkt mit der y-Achse hat die x-Koordinate den Wert Null, bei den Schnittpunkten mit der x-Achse haben die y-Koordinaten den Wert Null. Deshalb spricht man auch von Nullstellen und meint damit diejenigen Stellen x_N, an denen der Funktionswert Null wird. Bei den Nullstellen sucht man also x-Werte.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Wer bis hierher aufmerksam gelesen hat, dem ist aufgefallen, dass ich vom Schnittpunkt mit der y-Achse immer in der Einzahl gesprochen habe.

Wenn wir uns die Definition der Funktion ins Gedächtnis rufen, wird klar, dass es nur genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse geben kann, weil eine Funktion jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat also diejenige y-Koordinate, die die Funktionsgleichung der Stelle x=0 zuordnet. Wenn also die Zahl Null im Definitionsbereich enthalten ist, dann gibt es genau einen Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-Achse. Den rechnet man einfach aus, indem man x=0 in die Funktionsgleichung einsetzt. Beispiel:

f₁₂(x): y = (x - 2)² + 1

f₁₂(0): y = (0 - 2)² + 1 = 5

Diese Funktion schneidet die y-Achse also bei y=5 bzw. im Punkt P(0|5).
Nebenstehendes Bild zeigt das Ganze zur Veranschaulichung

Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)

Bei den Schnittpunkten mit der x-Achse ist das Prinzip genau gleich, nur das Rechnen ist etwas umständlicher:

Wir wissen, dass y = 0 sein muss; also setzen wir das in unsere Funktionsgleichung ein. Da wir aber x-Werte wissen wollen, müssen wir die Funktionsgleichung anschließend noch nach x auflösen. Dabei kann es auch passieren, dass es keine, eine oder sogar mehrere Lösungen gibt. Mit dem Beispiel von oben sieht das Ganze so aus:

In diesem Fall gibt es also keine Lösung, weil wir bei den reellen Zahlen bleiben wollen und deshalb die Wurzel aus -1 nicht berechnen können, was wir tun müssten, um das Quadrat an der Klammer mit x wegzubekommen.
Das Bild oben rechts verdeutlicht uns auch, dass wir richtig gerechnet haben: Der Funktionsgraph von f₁₂(x) schneidet die x-Achse an keiner Stelle!
Probieren wir also ein anderes Beispiel:

Hier gibt es sogar zwei Lösungen. Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse also an zwei Stellen, und zwar in den Punkten A(1|0) und B(3|0). In unserer Skizze können wir an den berechneten Schnittpunkten schon mal kleine Markierungen machen. Dort muss die Kurve später durch.
Übrigens hat sich durch die geänderte Funktionsgleichung natürlich auch der Schnittpunkt mit der y-Achse verschoben: Er liegt nun im Punkt Q(0|3). Rechts stehendes Bild zeigt alle drei Achsenschnittpunkte von f₁₃(x).