Warum spricht man eigentlich bei Satelliten- oder Radarantennen von Parabolspiegeln?
Na, ganz einfach: Bei den Reflektoren, die diese Antennen benutzen, handelt es sich um Paraboloide, also um Gebilde, deren Querschnitt eine Parabel darstellt.
Mehr zum Thema Parabeln im Aufsatz über Parabeln.
Ein Paraboloid entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotieren lässt.
Und warum nimmt man ausgerechnet Paraboloide als Antennenreflektoren? Schon ihr Name wäre ein Grund, lieber etwas anderes zu nehmen!

Bei einer Satellitenantenne möchte man möglichst viele Strahlen, die von einem weit entfernten Sender kommen, in einem Punkt, dem sogenannten Brennpunkt, zusammenführen. Dort platziert man dann den Empfänger.
Auf diese Weise holt man mehr der im Raum verteilten Energie zum Empfänger und verbessert dadurch den Empfang, weil das Signal stärker wird.
Dadurch dass der Sender so weit entfernt ist, verlaufen die von ihm ausgehenden Strahlen, bevor sie auf unsere Parabolantenne treffen, fast parallel.

Man kann auch den umgekehrten Fall betrachten:
Nehmen wir einmal an, wir wollten ein Sendesignal in einer Richtung bündeln. Beispielsweise bei Scheinwerfern oder Radargeräten möchte man so etwas tun. Unser Sender strahlt zunächst in alle Richtungen gleichmäßig. Idealisiert nennt man so etwas übrigens isotroper Strahler.
Bündeln bedeutet, dass wir alle diese von einem Punkt (dem Ort des Senders) ausgehenden Strahlen in die selbe Richtung umlenken wollen. Die Strahlen sollen also alle parallel werden.

Genau das ist die tolle Eigenschaft, die ein Paraboloid hat:
Parallel einfallende Strahlen werden in einem Brennpunkt gebündelt bzw. die von diesem Brennpunkt ausgehenden Strahlen verlassen den Paraboloid nach Reflektion alle in der selben Richtung.

Um das zu veranschaulichen nachstehend eine kleine Geogebra-Animation:
Sie zeigt eine Parabel und zwei Strahlen, die sich genau so verhalten wie oben beschrieben.
Die Parabel ist ein Schnitt durch die Symmetrie- bzw. Rotationsachse des Paraboloiden; man kann sich also leicht vorstellen, dass das Ganze auch im räumlichen Fall funktioniert.
Mit Hilfe des Schiebereglers für a kannst du die Form der Parabel verändern.
Der Schieberegler für b positioniert die Strahlen weiter innen oder außen.
Durch Klick auf das kleine Dreieck unten links kannst du die Animation starten, bei der alle Werte für b durchlaufen werden.
Achte dabei darauf, dass die Strahlen wirklich immer durch den Brennpunkt gehen, egal an welcher Stelle sie die Parabel treffen!
Durch Verändern der Parabelform (Schieberegler a) ändert sich der Brennpunkt.
Dabei ist interessant, dass der Brennpunkt sich bei einer weniger gewölbten Parabel, also bei kleinen Werten für a, von der Parabel entfernt. Genau das entspricht der Bauform einer Satellitenschüssel, da man ja etwas Platz braucht, um den Empfänger zu instalieren.

Gestrichelt sind die Tangenten im jeweiligen Auftreffpunkt der Strahlen eingetragen. Sie sind maßgeblich für die Richtung der Reflektion. Es gilt das Reflektionsgesetz "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" bezogen auf dieses Tangenten.

Michael Janßen, 15. April 2019, erstellt mit GeoGebra

Wo genau liegt denn nun der Brennpunkt?
Kann man das ausrechnen? Wenn ja, wie?
Das ist gar nicht so schwierig:

Sinnvollerweise legen wir den Nullpunkt unseres Koordinatensystems in den Schietelpunkt der Parabel. Das vereinfacht die Rechnung, ohne ihre Allgemeingültigkeit zu beeinträchtigen. Unter dieser Randbedingung lautet die Gleichung der Parabel:

y = a⋅x²

Die Steigung der Tangente in einem Punkt x berechnet sich mit Hilfe der Ableitung der Funktion nach der Potenzregel zu:

y = 2⋅a⋅x

Der Punkt, in dem uns die Steigung interessiert, ist: x = b
Demnach ist die Steigung der Tangente m_T im Auftreffpunkt unseres Strahls:

m_T = 2⋅a⋅b

Die Steigung ist immer auch der Tangens des Steigungswinkels, denn sie berechnet sich aus dem Verhältnis der Katheten des Steigungsdreiecks.
Der Winkel α zwischen der Tangente und dem senkrecht einfallenden Strahl ist deswegen:

α = 90° − arctan(m_T)

Da Einfalls- und Ausfallswinkel gleich sein sollen, müssen wir den Winkel α von der Tangentensteigung abziehen, um den Steigungswinkel arctan(m_B) des Brennpunktstrahls zu erhalten:

arctan(m_B) = arctan(m_T) − α

Einsetzen für α ergibt:

arctan(m_B) = 2⋅arctan(m_T) − 90°

Auflösen nach m_B durch Anwenden des Tangens und einsetzen für m_T:

m_B = tan(2⋅arctan(2⋅a⋅b) − 90°)

Der Brennpunkt B(x_B   y_B), den wir suchen, hat wegen der eingangs festgelegten Symmetriebedingung die x-Koordinate x_B = 0.
Die y-Koordinate ist genau der Achsenabschnitt der Brennpunktgerade, deren Steigung wir gerade ermittelt haben.
Von dieser Brennpunktgerade wissen wir außerdem, dass sie durch den Auftreffpunkt A des Strahls geht, der bei A(b | a⋅bx₂) liegt. (Die y-Koordinate y_A ist der Funktionswert der Parabel an der Stelle x = b.)
Diese Informationen eingesetzt in die Geradengleichung der Brennpunktgeraden sehen dann so aus:

y_A = m_B⋅x_A + y_B

Nach Umformen und Einsetzen für die bekannten Größen m_B, x_A und y_A erhalten wir für die Brennpunktkoordinate y_B:

y_B = a⋅b² − b⋅tan(2⋅arctan(2⋅a⋅b) − 90°)

a und b sind dabei die beiden Schiebereglergrößen aus oben stehender Grafik.